Pedagogía en Educación Matemática

La siguiente actividad de titulación tratará de una revisión bibliográfica matemática sobre un tema introductorio del análisis funcional específicamente Rn y lp como espacios normados y completos. Podemos decir que el análisis funcional es un concepto relativamente nuevo en la matemática (esto a comparación con las matemáticas convencionales) ya que no lleva más de 120 años estudiado. La actividad de titulación estará compuesta de cuatro capítulos, los cuales abordaran temas específicos de dicha revisión bibliográfica. En el primer capítulo se hace referencia a la historia del Análisis funcional, en el cual conoceremos en los años en que se empezó a estudiar y sus principales autores. Se presentarán los objetivos a abordar en esta actividad de titulación.

Este trabajo estudia los fundamentos preliminares que establecen las bases para comprender, tanto la forma de extensión como la perspectiva geométrica, del Teorema de Hahn-Banach. Se centra especialmente en explorar los elementos esenciales del análisis funcional y del ´algebra lineal que confieren coherencia y significado al estudio en cuestión. En resumen, el propósito de este trabajo es proporcionar una visión integral y detallada de los preliminares necesarios para abordar el Teorema de Hahn-Banach y sus subsiguientes demostraciones. Asimismo, busca fomentar una comprensión más profunda y contextualizada de este importante resultado en el análisis funcional mediante el estudio de ejemplos ilustrativos.

Hablamos de una función implícita cuando tenemos una ecuación de la forma f(x; y) = 0, donde no se muestra claramente cómo despejar y en función de x ni x en función de y. Donde una ecuación explícita tiene la forma y = g(x) o x = h(y) Cualquiera de estas dos ecuaciones es preferible a la implícita puesto que siempre una ecuación explícita puede transformase en una implícita de manera trivial f(x; y) = y 􀀀 g(x)x 􀀀 h(y) según corresponda. Nuestra pregunta es ahora entonces: Cuándo es posible encontrar una función que describa explícitamente y en función de x o x en función de y en un entorno de (a; b)?. Justamente aquí radica la importancia de este teorema pues existe la posibilidad de calcular la diferencial en un punto (a; b) de una función sin conocerla explícitamente, lo que nos permitirá por ejemplo, obtener una evaluaci ón aproximada de la función en el punto. Además, este problema toma una forma más general cuando se considera un sistema de varias ecuaciones en las que intervienen varias variables, y nos preguntamos si se pueden resolver dichas ecuaciones para algunas de esas variables en función de las restantes variables. Para obtener una respuesta tenemos que, bajo condiciones bastantes generales, siempre existe una solución, la cual es proporcionada por el teorema de la función implícita con una descripción de las condiciones y ciertas conclusiones acerca de la solución. El estudio de las funciones implícitas no es sólo abstracto, de hecho, las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales ordinarias es una ecuación que relaciona las variables x e y de manera implícita. Ahora bien, el teorema de la Funcin Inversa está intrínsicamente conectado con el teorema anterior pues viene siendo un caso especial de él, puesto que el teorema de las funciones implícitas se presentan comúnmente como una forma de describir la noción de una función inversa, y como son tan importantes será también nuestro objeto de estudio. Para llevar a cabo nuestro objetivo y cumplir con lo anterior nos concentraremos en estudiar algunos contenidos insertos en los cursos de Análisis Matemático tales como: Topología en el espacio cartesiano, funciones, límites de funciones de varias variables y diferenciabilidad, los que son de gran ayuda para facilitar nuestro trabajo y de paso recordar los conocimientos previos que se debiesen tener.