Pedagogía en Educación Matemática

En este trabajo pretendemos hacer un estudio de ciertos grupos de matrices y analizar sus aspectos algebraicos, geométricos y analíticos. Se trata de grupos y subgrupos de matrices cuadradas inver- tibles GLn(R), llamado grupo lineal general. Es interesante la relación entre lo abstracto de grupo y lo lineal de sus elementos, ya que las matrices son objetos de linealizacion que por si misma posee propiedades lineales. Mas a un ellas son una representación, en dimensión fi nita, de un objeto mas general y uni ficador como es la transformacion lineal (ver [6] y [7]). En este caso una transformación lineal interesante para nuestro objetivo es la rotacion en el plano euclidiano en torno a un punto fijo, que por defi nicion involucra los cuadros geométrico y lineal. La descripción de esta transforma- cion lineal hace intervenir un angulo (de rotacion). Desde un punto de vista algebraico este angulo (medido en radianes) es un numero real que al sumarlo produce en las respectivas rotaciones, co- mo transformaciones lineales, una continuación una tras la otra (composición). Esta coherencia de estructura, por un lado la suma en R y por otro la composici on de rotaciones, es lo que se llama homomorfi smo. Desde un punto de vista geométrico, con el apoyo de una representación gr a ca de la rotación, se logra visualizar la armonía entre estas dos estructuras: suma y componer. Por otro lado, la propia idea intuitiva física de rotación es asociada a un movimiento continuo, es decir por ejemplo la rotación en plano euclidiano en torno a un punto jo en un angulo de =3 radianes comienza \sin detener" hasta terminar los =3 radianes de forma continua y no de 1 radian en 1 radian (discreto). Esta aproximación nos lleva a dar a este angulo un estatus de parámetro en R, que permite hacer un estudio analítico de la rotación en función de este parámetro real. La descripción de la rotación hace intervenir las funciones trigonométricas seno y coseno las cuales son analíticas y cuyas representaciones en serie de potencias (serie de Taylor) inducen una estructura analítica sobre la propia rotación. El termino lineal de esta representación en serie en torno al 0 (0 radian), que se llama linealizacion y que geometricamente es la recta tangente, aparece con una estructura de espacio vectorial. Este objeto geométrico/vectorial (recta tangente) y el grupo se relacionan muy estrechamente con el apoyo de una generalizacion de la exponencial de variable real a variables matriciales. En esto es importante la estructura topologica de R. El siguiente diagrama muestra la articulacion de los diferentes puntos de vista en torno a este tipo de grupos de Lie de matrices. Los puntos de vista geométrico, lineal y analítico aparecen inducidos en los grupos de matrices, relacionados entre ellos: geométrico/lineal por un lado y lineal/analítico por otro, siendo el lineal que hace el vinculo entre los otros dos. Desde una dimensión mas matemática, los dos primeros se insertan en la teoría de la geometría vectorial y los dos últimos en la teoría de la geometría diferencial. El vinculo local (a nivel de vecindades) entre estas dos teorías es la generalización de la exponencial. Esto forma parte de dos grandes teorías en matemática, por un lado álgebras de Lie y por otro grupos de Lie (ver [2]). En el presente trabajo solo hemos pretendido entregar una aproximacion a estas ideas y nociones utilizando dos grupos de Lie de matrices, siempre dentro del contexto del aprendizaje de la matemática y la articulación de los diferentes conceptos de los diferentes cuadros: geométrico, lineal, analítico.

En ciertas ocasiones, la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales pueden conllevar más allá del tiempo esperado para su resolución, como lo puede ser en el caso del siguiente ejemplo: x2 + 2y2 = 2 x2 + xy + y2 = 2 Para la resolución del sistema de ecuaciones que se presenta se necesita tener un conocimiento de los conceptos primordiales del algebra abstracta, debido a que se le puede dar solución a estos casos mediante la utilización de Bases de Grobner. Las bases de Grobner tiene como finalidad analizar el sistema de polinomios con más de una indeterminada a través de los conjuntos ideales al que pertenezcan estos polinomios, estas bases contendrán los divisores de los polinomios de un conjunto, de tal manera que todos y cada uno de los polinomios del conjunto se pueden dividir por los polinomios. Con este trabajo ya realizado, nuestro problema de sistema de ecuaciones polinomiales puede ser resuelto con mayor facilidad, puesto que, se puede reestructurar dicho sistema de ecuaciones con las ecuaciones que se obtuvieron en nuestra base de Grobner. El estudio de las bases de Grobner es relativamente nuevo, su invención data de aproximadamente 1966, fue ahí cuando Bruno Buchberger cuando hizo lectura de su tesis \Encontrando una base del espacio vectorial cociente para el anillo de clases, módulo un ideal de polinomios cero dimensional", escrito originalmente en alemán, enunció esta directriz de estudio del _algebra abstracta, que fue nombrado as__ por quien fuese su profesor que lo dirigía, Wolfgang Grobner. El desarrollo de este tipo de ejercicios guarda un estrecho vínculo con ciertos contenidos que indica el Curriculum de matemática en primer año de la Enseñanza Media, específicamente con el objetivo de desarrollar los productos notables, perteneciente al eje de Números, y de resolver sistemas de ecuaciones de 2x2. Con el primer objetivo se ve relacionado en el sentido de poder realizar la división de polinomios multivariables para reducir los términos, mientas que con el segundo guarda una relación más estrecha por ser la finalidad con la cual se estudiara las bases de Grobner.

El presente trabajo, tiene como propósito ordenar ideas para un estudio comprensivo de un tema que en Matemáticas ocupa en lugar transversal en el desarrollo del Álgebra y la Teoría de Números. El concepto de Dominio de Integridad, que es nuestro principal objeto de estudio, es un constructo teórico que, al igual que muchos otros conceptos en Matemáticas, presenta una versatilidad y riqueza inagotables para la comprensión e investigación actuales en la disciplina, dentro de sus más abstractas representaciones, y particularmente, en el avance de la Teoría Algebraica de Números. El hecho de abordar un tema particular de nuestra disciplina, nos permite adquirir la madurez necesaria para trabajar con el resto de los temas que presenta la Matemática en general, muy sofisticados y de alta utilidad para el desarrollo científico y tecnológico, y una comprensión de los temas debe sugerir como consecuencia la habilidad para comunicar resultados y hacerlos comprensibles en su totalidad. Al ser el concepto de Dominio de Integridad un hilo unificador entre teorías y disciplinas, queremos además, proporcionar un documento de estudio válido para quienes quieran emprender su aprendizaje, por curiosidad o por el gusto de hacerlo. Para ello, hemos enfocado nuestro estudio hacia una construcción de los enteros y sus más importantes conceptos de divisibilidad y factorización, para proseguir con una estructuración de tales propiedades aritméticas en el sentido algebraico. Continuamos con representaciones de Dominios de Integridad conocidos y algunas de sus aplicaciones en la Teoría elemental de N´umeros, teniendo como propósito, estudiarlas desde le punto de vista algebraico. Para finalizar, se contruye el cuerpo de cocientes de un Dominio de Integridad, tema asociado a los enteros y su incidencia en la formulación de los números racionales.

Nuestro estudio versa sobre la Forma de Jordan. Este consiste en encontrar valores y vectores propios de una transformación lineal utilizando para ello los procesos de diagonalización, pero estos operadores en rigor no son diagonalizables, por consiguiente lo que debemos hacer es descomponer el espacio en suma de subespacios invariantes. Para lograrlo, dividimos el texto en cuatro capítulos. En primer lugar estudiamos conceptos básicos del álgebra que servirán de apoyo al lector y a nosotros, entregando bases sólidas a nuestro estudio. En el segundo capítulo comenzamos el estudio de transformaciones lineales, fortaleciendo aún más los cimientos de nuestro trabajo, comenzando a dar los primeros pasos hacia lo que realmente nos interesa, entender la Forma de Jordan. En el capítulo 3, con el paso más firme, damos los primeros indicios de lo que nos espera en el capítulo 4. Es así como se nos hace necesario estudiar polinomios, valores y vectores propios, sobre todo entender sumas directas y sumas directas invariantes, de este modo comenzamos a dar mayor sustento y seguridad a nuestro caminar. En el capítulo 4 analizamos la Forma de Jordan y sus dificultades, por ello que en primera instancia se da una visión simplificada, para luego estudiar el teorema de descomposición cíclica,terminando con el estudio de la Forma de Jordan en un nivel más elevado, cumpliendo de esta forma nuestros objetivos iniciales.