Pedagogía en Educación Matemática

En este trabajo pretendemos hacer un estudio de ciertos grupos de matrices y analizar sus aspectos algebraicos, geométricos y analíticos. Se trata de grupos y subgrupos de matrices cuadradas inver- tibles GLn(R), llamado grupo lineal general. Es interesante la relación entre lo abstracto de grupo y lo lineal de sus elementos, ya que las matrices son objetos de linealizacion que por si misma posee propiedades lineales. Mas a un ellas son una representación, en dimensión fi nita, de un objeto mas general y uni ficador como es la transformacion lineal (ver [6] y [7]). En este caso una transformación lineal interesante para nuestro objetivo es la rotacion en el plano euclidiano en torno a un punto fijo, que por defi nicion involucra los cuadros geométrico y lineal. La descripción de esta transforma- cion lineal hace intervenir un angulo (de rotacion). Desde un punto de vista algebraico este angulo (medido en radianes) es un numero real que al sumarlo produce en las respectivas rotaciones, co- mo transformaciones lineales, una continuación una tras la otra (composición). Esta coherencia de estructura, por un lado la suma en R y por otro la composici on de rotaciones, es lo que se llama homomorfi smo. Desde un punto de vista geométrico, con el apoyo de una representación gr a ca de la rotación, se logra visualizar la armonía entre estas dos estructuras: suma y componer. Por otro lado, la propia idea intuitiva física de rotación es asociada a un movimiento continuo, es decir por ejemplo la rotación en plano euclidiano en torno a un punto jo en un angulo de =3 radianes comienza \sin detener" hasta terminar los =3 radianes de forma continua y no de 1 radian en 1 radian (discreto). Esta aproximación nos lleva a dar a este angulo un estatus de parámetro en R, que permite hacer un estudio analítico de la rotación en función de este parámetro real. La descripción de la rotación hace intervenir las funciones trigonométricas seno y coseno las cuales son analíticas y cuyas representaciones en serie de potencias (serie de Taylor) inducen una estructura analítica sobre la propia rotación. El termino lineal de esta representación en serie en torno al 0 (0 radian), que se llama linealizacion y que geometricamente es la recta tangente, aparece con una estructura de espacio vectorial. Este objeto geométrico/vectorial (recta tangente) y el grupo se relacionan muy estrechamente con el apoyo de una generalizacion de la exponencial de variable real a variables matriciales. En esto es importante la estructura topologica de R. El siguiente diagrama muestra la articulacion de los diferentes puntos de vista en torno a este tipo de grupos de Lie de matrices. Los puntos de vista geométrico, lineal y analítico aparecen inducidos en los grupos de matrices, relacionados entre ellos: geométrico/lineal por un lado y lineal/analítico por otro, siendo el lineal que hace el vinculo entre los otros dos. Desde una dimensión mas matemática, los dos primeros se insertan en la teoría de la geometría vectorial y los dos últimos en la teoría de la geometría diferencial. El vinculo local (a nivel de vecindades) entre estas dos teorías es la generalización de la exponencial. Esto forma parte de dos grandes teorías en matemática, por un lado álgebras de Lie y por otro grupos de Lie (ver [2]). En el presente trabajo solo hemos pretendido entregar una aproximacion a estas ideas y nociones utilizando dos grupos de Lie de matrices, siempre dentro del contexto del aprendizaje de la matemática y la articulación de los diferentes conceptos de los diferentes cuadros: geométrico, lineal, analítico.

Las matemáticas juegan un rol muy importante en la sociedad, en su gran mayoría los estudios que se hacen en los diferentes tipos de ciencias están basados bajo teorías matemáticas. En efecto, muchas respuestas de estos estudios y diversas aplicaciones, problemas, teorías, etc. en matemática, están dadas en base a las desigualdades y no igualdades como se cree. Las desigualdades matemáticas tienen un papel muy importante, incluso, podemos encontrar textos y revistas especializadas dedicados a su estudio, diversas páginas en la web donde podemos encontrar problemas de desigualdades, tambi én muchos artículos cientí cos hacen uso de desigualdades, en n, estas a lo largo de la historia han sido estudiadas, especí camente en el área del cálculo y/o análisis matemático existen varias desigualdades que poseen una relevancia en las aplicaciones. Hemos de encontrar, tal y como hablábamos en el párrafo anterior, muchos libros dedicados a las desigualdades; libros en los cuales encontramos un sinf ín de desigualdades, otros con desigualdades clásicas, otros que aplican estas desigualdades, etc.En general haremos una compilación de algunas principales desigualdades llamadas clásicas y poder aplicar estas en diversos campos, principalmente en algunos problemas presentados en olimpiadas matemáticas y en el campo de medias y promedios generalizados.

Lo primero que pensamos cuando estamos frente a una resolución de este tipo de sistemas de ecuaciones es que puede ser un proceso difícil y muy extenso, sin embargo, existe un método que permite resolver este tipo de sistemas de ecuaciones con mayor facilidad, conocido como la resultante de dos polinomios, para el cual se requiere un conocimiento mas amplio del algebra abstracta. Este método consiste en eliminar una o mas variables del sistema de ecuaciones polinomiales, reduciendo el problema dado a uno equivalente, pero con menos variables en juego. La versión moderna de este método se asocia a Sylvester, en el año 1853, la cual conoceremos a profundidad en esta memoria, a través 3 de su de nicion, utilidad, ejemplos y aplicaciones. Comenzaremos estudiando polinomios y luego veremos como la resultante es una generalización de los métodos utilizados en sistemas de ecuaciones lineales. En cuanto al estudio de polinomios, según el Curriculum de Chile, es en primero medio donde los alumnos se familiarizan con estos, en la unidad de funciones, conociendo primero la función lineal, luego la función afín y, por último, en el curso de segundo medio, la cuadrática. Así también, conocen los productos notables en primero medio y nuevamente en segundo aprenden a factorizar estos. Posteriormente, conocen los sistemas de ecuaciones lineales, donde su solución corresponde a la intersección de dos rectas en un punto, para las cuales existen diversos procedimientos para resolverlos, es aquí donde la resultante es un nuevo método para este tipo de problemas y algunos mas difíciles, como es el caso de ecuaciones distintas a las lineales, que geométricamente se pueden interpretar como la intersección de curvas.